10 fakta fra den bisarre verden av uendelig matte

På slutten av 1800-tallet oppdaget tysk matematiker Georg Cantor "transfinitiv" matematikk, eller matematikk utover uendelig. Med dette tidlige arbeidet ble vi introdusert til en verden hvor det er tall som er større enn uendelig og ligninger som ikke følger sans for regning av aritmetikk. Tilstrekkelig å si, det er sannsynligvis ikke de ting du lærte på videregående skole.

Cantorens arbeid var i utgangspunktet kontroversielt og ble vitriolisk angrepet av noen av de viktigste matematiske tallene i hans dag. Det ble imidlertid gradvis akseptert som kanon og har bidratt til å bane veien for settteori, som i seg selv er en potensiell undergirding for all matematikk.

10 Infinity Plus One (eller to, eller uendelig) er like uendelig

Det viser seg at denne gamle barndommen har noe til det. Gitt uendets natur, er ethvert tall som legges til, subtrahert fra, multiplisert med eller dividert med det like uendelig. Dette ses i et klassisk uendelig puslespill, kjent som Hilbers hotellparadox:

Det er et hotell som har et uendelig antall rom. En trøtt reisende ankommer og ber om et rom, men blir informert om at alle rommene er opptatt. Hvordan kan hotellet ikke ha flere rom, siden det har uendelige rom? Hva skal reisende gjøre?

Svaret er at reisende skal be om at personen i rommet ett skal flytte til rom to, skal personen i rom to flytte til rom tre og så videre ... og hun tar rom ett. Infinity er uendelig elastisk og kan utvides eller krympes på noen måte for å passe hva den trenger, enten det er en reisende eller en googolplex (ja det er et faktisk antall) reisende.

9 Det er så mange odde tall (og så mange tall som slutter i 123 eller 423) som det er tall

Uendelig er så ugjennomtrengelig fordi, som Hilbers hotell, kan en hvilken som helst serie uendelige tall bli satt inn i det som kalles en "en-til-en-korrespondanse" med en uendelig del av den serien. I lekmanns vilkår betyr det at hvis du tar alle positive hele tallene (0, 1, 2, 3, 4 ...) og alle positive jevntalene (0, 2, 4, 6, 8 ...), kan hver av de totale tallene matches med et jevnt tall. Så null kan matches med null, man kan matches med to, to kan matches med fire og så videre.

Siden de to seriene (eller "settene") av tallene stemmer overens for hvert tall, er vi berettiget til å si at de er like store. Kalt Galileo-paradokset etter den berømte oppdageren, viser dette tankeeksperimentet at uendelighetens størrelse ikke kan endres ved hjelp av de rå verktøyene for grunnleggende aritmetikk som divisjon eller tillegg av endelige tall. For det trenger du noe mer sofistikert.

8 Noen uendelig er større enn andre

Baksiden av en-til-en korrespondanse er at hvis det er en uendelig serie med tall som fortsatt har antall igjen etter å ha blitt matchet med en annen uendelig serie, så kan vi si at den tidligere serie av uendelig er faktisk større enn uendeligen som det var i samsvar med. Dette kan virke umulig, men du kan sannsynligvis intuitivt forstå et tilfelle der dette er sant: Det uendelige antall hele tall (0, 1, 2, 3 ...) er mindre enn det uendelige antall irrasjonelle tall. Hvis du husker fra videregående matematikk, er irrasjonelle tall tall som pi som har en rekke desimaler som går for alltid (3.1415 ...). Cantor viste at det uendelige antall irrasjonelle tall er større enn det uendelige antall hele tall ved hjelp av en genial, men enkel (i forhold til de mest banebrytende matematiske bevisene).

Han begynte med å anta at irrasjonelle tall kunne matches med hele tall og skrev ned en rekke tall mellom null og en. (Ok, dette er mine egne tilfeldige tall fra å mashing på tastaturet, men du får poenget.) Det er et uendelig antall av disse radene:

0.1435 ... matchet med 0
0.7683 ... matchet med 1
0.1982 ... matchet med 2
0.9837 ... matchet med 3

Og så videre. Du kan da lage et tall fra denne serien ved å ta det første sifferet i første linje, det andre sifferet i den andre linjen, og så videre; for tallene over, ville dette være 0,1668 ...

Nå kan det være et antall 0,687 ... et sted i denne stakken med tall. Men hvis du legger til en til hver siffre, blir nummeret 0,7979 ..., og dette tallet kan ikke være i stakken, siden det per definisjon er forskjellig fra noen av tallene i stakken med minst ett siffer. Derfor er det fortsatt irrasjonelle tall igjen etter å ha forsøkt å samsvare med normale hele tall. Derfor kan vi si at det uendelige antall irrasjonelle tall er større enn det uendelige antall hele tall.

Hvis du tror det er gal, hold på hatten din ...

7 Det er uendelig mange nivåer av uendelighet

Kantor viste også at, akkurat som antall uendelige heltal er på et helt annet nivå av uendelig enn antall irrasjonelle tall, er det også en type uendelighet som er større enn antall irrasjonelle tall, et nivå av uendelig over det, en annen over det, og så videre, opp gjennom (du gjettet det) uendelig. Videre summerer ethvert nivå av uendelighet til et høyere nivå av uendelig automatisk til det høyere nivå av uendelig på samme måte som uendelig pluss en er uendelig.

De Reader's Digest versjon av hvorfor dette er tilfelle er at du kan ta en uendelig rekke tall (for eksempel 0, 1, 2, 3 ...) og deretter lage en større uendelig serie ved å ta tallet på alle de forskjellige mulige kombinasjonene av tall i den opprinnelige serien. I matte kalles dette et strømsett.Så for hele tallet, ville strømsettet ikke bare omfatte 1, 2, 3 ... men også alle kombinasjoner av tall i den uendelige serien, inkludert 1 milliard og 1, 2, 13, 2 millioner ... osv. Når du har laget ditt første strømforsyning, det er ingen grunn til at du ikke kan lage et strømforsyningssett av strømforsyningen eller et strømforsyningssett av et strømforsyningssett av et strømforsyningssett av et strømsett ...

6 Alt dette dro til slutt Georg Cantor Insane

Som du kan forestille deg, kan du bo på alt dette for mye, og det er akkurat det som skjedde med oppdageren. Cantor trodde at det "neste" nivået av uendelig etter hele tallet var antall irrasjonelle tall; Det eneste problemet var at han ikke kunne bevise det.

Dette berømte matematiske problemet, merket kontinuumhypotesen (han til slutt bare begynte å si at Gud åpenbarte for ham at kontinuitetshypotesen var sant), i kombinasjon med de onde angrepene på hans arbeid, førte til en psykologisk sammenbrudd, og han tilbrakte resten av hans dager inn og ut av sykehus mens han prøvde å bevise at Francis Bacon skrev Shakespeare sine skuespill.

5 Problemet som kjørte Cantor sinnssyktig, er uoppløselig

Noen har forsøkt å gi et grundig grunnlag for matematikk ved å bruke en rekke aksiomer, eller uttalelser som er så sannsynlig at de kan stole på uten forklaring. (Eksempelvis kan man ikke være to. Hvorfor? Fordi!)

På 1960-tallet viste matematiker Paul Cohen at kontinuitetshypotesen er uoppløselig dersom vi antar at de mest brukte aksiomene er sanne. Men til denne dagen fortsetter matematisk arbeid under antagelsen om at aksiomene er sanne og at kontinuumhypotesen er falsk, samt omvendt antatt at de konvensjonelle aksiomene er sanne samt kontinuumhypotesen. Matematikere vurderer de ulike antakelsene om kontinuumhypotesen som tilhører forskjellige "matematiske universer", siden vi ikke kan bevise at den ene eller den andre er sann.

4 Symbolet for uendelighet som Cantor velger er et hebraisk brev

Som astronomer og biologer må matematikere som oppdager noe nytt konsept eller viktig verdi, ha minst noe innspill i hva navnet vil være. Gitt den slags makt, tror du det ville være flere Klingon-tegn i høyt nivå matematikk i dag, men nei. Som kreative som matematikere, vil nesten ingen av dem avvike fra de svært konvensjonelle greske symbolene, og derfor kan forskjellige greske bokstaver bety så mange forskjellige ting avhengig av hvilken gren av matematikk du bruker - vi har bare så mange flere matematiske konstanter og konsepter enn greske bokstaver.

Mens hans religiøse bakgrunn fortsatt diskuteres av historikere, så Cantor så hva han gjorde som en måte å nærme seg den guddommelige gjennom matematikk, så han bestemte seg for at de ulike nivåene av uendelig ville bli symbolisert av det første bokstaven i det hebraiske alfabetet: aleph. Settet av alle hele tallene vil være aleph-null, eller aleph med null-abonnement. Den neste høyeste uendelighet ville være aleph-one, som, som vi har nevnt, kanskje eller ikke er antall irrasjonelle tall.

3 Det er et nivå av uendelighet i hvilken uendelig pluss man ikke ligner en pluss uendelighet

I tillegg til alef-tallene kom Cantor også opp med omega-tall. Det første omega nummeret er definert som det minste tallet som er større enn antall hele tall, eller det første nummeret etter aleph-naught. For å tegne på Hilberts hotelleksempel igjen, hvis antall rom er aleph-null, så er det første omega nummeret et shack utenfor hotellet. Det neste omega nummeret etter det er bare omega pluss en. Dette betyr imidlertid at en pluss omega er annerledes enn omega pluss en, siden den ene i det tidligere ville bli absorbert av omega (siden uendelig er formbar), mens den ene etter omega representerer neste trinn.

Dessverre erstatter forståelsen av mer teknisk bevis for dette evnen til den ydmyke forfatterens intellekt, men jeg leser det i en bok, så det må være sant.

2 Infinity Minus Infinity er ikke like null

Infinitet minus uendelig er udefinert på samme måte som dividering med null er udefinert.

For å gi et eksempel på hvorfor dette er, siden uendelig pluss en er uendelig (uendelig + 1) = [uendelig]), dersom vi trekker uendelig fra begge sider, står vi igjen med 1 = 0. Tilsvarende, og for mange av samme grunner, uendelighet delt av uendelig er ikke en, men er også udefinert.

1 Dette har faktisk real-world-vitenskapelige applikasjoner

I likhet med mange andre områder i matematikk har det vist seg å ha implikasjoner i harddisken som startet som et rent teoretisk tankeeksperiment. For eksempel sum summekanikklikninger summerer til uendelig; I praksis tilpasser fysikere ligningen for å gjøre beregninger gjennomførbare, men det er ikke klart om det er rettferdiggjort, gitt hva vi vet om transfinit matte.

I kosmologi, om universet er uendelig stort, er rommet uendelig delbart, universet vil ekspandere for alltid, eller om det er uendelige universer, er alle åpne spørsmål som trekker på uendelig logikk. Noen forskere har til og med funnet søknader om Hilberts hotellparadox i både kvante- og klassisk optikk.