Dele:
Topp 10 fascinerende fakta om tallet Pi
Det mest kjente faktumet om pi-normalt avrundet til 3,14159-er at det representerer forholdet mellom omkretsen av en sirkel og dens diameter. Pi er også et irrasjonelt tall, så det er ikke i stand til å bli skrevet som en enkel brøkdel. Derfor er pi et uendelig langt, ikke-repeterende desimaltall, noe som gjør det til et av de mest interessante og mystiske tallene som mennesket kjenner.
10Forste beregning
Den første beregningen av pi antas å ha blitt oppnådd av Archimedes of Syracuse rundt 220 f.Kr. Arkimedes utledet formelen A = pi r ved å tilnærme området av en sirkel basert på området av en vanlig polygon som er skrevet inn i sirkelen, og arealet av et polygon der sirkelen ble omkranset. De to polygonene ga derfor øvre og nedre grenser for et område av en sirkel, slik at Archimedes kunne tilnærme at det manglende stykket av puselet lå et sted mellom 3 1/7 og 3 10/71.
Den fremtredende kinesiske matematikeren og astronomen Zu Chongzi (429-501) regnet senere pi for å være 355/113, selv om nøyaktig hvordan han klarte å nå denne utrolig nøyaktige måling, forblir et mysterium, siden det ikke er noen oversikt over hans arbeid.
9A Sirkels sanne område er ukjennelig
Johann Heinrich Lambert i det 18. århundre viste at pi er irrasjonell - det kan ikke uttrykkes som en heltallsbasert brøkdel. Rasjonelle tall kan alltid skrives som en brøkdel, hvor både teller og nevner er hele tall. Selv om det kan være fristende å se pi som et enkelt forhold av omkrets / diameter (pi = C / D), vil det alltid være tilfelle at hvis diameteren er et heltall, er omkretsen ikke et heltall og omvendt.
Den irrasjonelle pi betyr at vi aldri kan virkelig kjenne omkretsen (og deretter området) av en sirkel. Dette frustrerende, men tilsynelatende uunngåelige faktumet har ført til at noen matematikere insisterer på at det er mer nøyaktig å tenke på en sirkel som å ha et uendelig antall små hjørner, i stedet for å tenke på en sirkel som å være "glatt".
8Buffons nåle
Først ble kjent med geometriere og matematikere i 1777, er Buffons nål en av de eldste og mest spennende problemene innen geometrisk sannsynlighet. Slik fungerer det.
Hvis du skulle slippe en nål med en enhetslengde på et ark med linjer adskilt av samme enhetslengde, er sannsynligheten for at nålen krysser en av linjene på siden direkte relatert til verdien av pi.
Det er to variabler involvert i nåldråpen: 1) vinkelen hvor nålen faller, og 2) avstanden fra nålens midtpunkt til nærmeste linje. Vinkelen kan variere fra 0 til 180 grader og måles mot en linje parallelt med linjene på papiret.
Det viser seg sannsynligheten for at nålen lander slik at den kutter en linje, er nøyaktig 2 / pi, eller omtrent 64 prosent. Dette betyr at pi kunne beregnes teoretisk ved hjelp av denne teknikken hvis man hadde nok tålmodighet til å sitte gjennom nok prøvelser, selv om eksperimentet ikke synes å ha noe å gjøre med sirkler, eller til og med avrundede kanter for den saks skyld.
Dette kan være litt vanskelig å forestille seg, så eksperimentere med fenomenet selv her.
7Pi og båndproblemet
Tenk deg at du tar et bånd og legger det rundt jorden. (La oss anta for enkelhets skyld at Jorden er en perfekt sfære med en omkrets på 24.900 miles.) Nå, prøv å bestemme den nødvendige lengden på et bånd som kunne omgjøre jorden på en avstand på en tomme over overflaten. Hvis du tror instinktivt, vil det andre båndet måtte være betydelig lengre enn det første, du ville ikke være alene. Du ville imidlertid være feil. Faktisk vil det andre båndet øke i lengde bare med 2pi, eller omtrent 6,28 tommer.
Slik snur dette hodeskrapet ned: Igjen, forutsatt at Jorden er en perfekt sfære, kan det regnes som en gigantisk sirkel med en omkrets på 24.900 miles ved ekvator. Dette betyr at radiusen vil være 24,900 / 2pi, eller omtrent 3,963 miles. Nå vil det ekstra andre båndet som svinger en tomme over jordens overflate ha en radius en tomme lenger enn jordens, noe som fører til ligningen C = 2 Pi (r + 1), som tilsvarer C = 2 Pi (r ) + 2 Pi. Fra dette kan vi fortelle at omkretsen til det andre båndet vil øke med 2pi. Faktisk, uansett hva den opprinnelige radiusen er (enten det er jordens eller en basketball), øker en radius med en tomme alltid en økning på 2pi (bare 6,28 inches) i omkrets.
6Navigation
Pi spiller en fremtredende rolle i navigasjon, spesielt når det gjelder stor skala global posisjonering. Siden mennesker er ganske små sammenlignet med Jorden, har vi en tendens til å tenke på reiser som å være lineære. Men når fly flyr, flyr de selvfølgelig på en bue i en sirkel. Flyvebanen må derfor beregnes slik at den nøyaktig måler reisetid, bruk av brensel osv. I tillegg, når du finner deg selv på jorden ved hjelp av en GPS-enhet, må pi spille en viktig rolle i disse beregningene.
Så hva med navigasjon som krever enda mer nøyaktig presisjon over enda større avstander enn en flytur fra New York til Tokyo? Susan Gomez, leder av den internasjonale romstasjonen Guidance Navigation and Control (GNC) -undersystemet for NASA, viser at de fleste av beregningene NASA kjører som involverer pi, bruker 15 eller 16 siffer, spesielt når det gjelder super-nøyaktige beregninger for Space Integrated Global Positioning System / Inertial Navigation System (SIGI) -programmet som kontrollerer og stabiliserer romskip under oppdrag.
5Signalbehandling og Fourier Transform
Mens pi er best kjent for å lage geometriske målinger som å beregne området av en sirkel, spiller den også en fremtredende rolle i signalbehandling, hovedsakelig gjennom en operasjon kjent som Fourier-transformasjonen, som konverterer et signal til et frekvensspekter. Fourier-transformasjonen kalles "frekvensdomenerepresentasjon" av det opprinnelige signalet, ved at det refererer til både frekvensdomenet og den matematiske operasjon som forbinder frekvenstomenet til en funksjon av tid.
Mennesker og teknologi utnytter dette fenomenet når et signal har behov for grunnleggende konvertering, for eksempel når iPhone mottar en melding fra et celtårn, eller når øret skiller mellom lyder av forskjellig tonehøyde. Pi, som fremtrer preget i Fourier-transformasjonsformelen, spiller en grunnleggende, men noe mystisk rolle i konverteringsprosessen, som den ligger i eksponenten til Eulers tall (den berømte matematiske konstant som er 2,71828 ...)
Dette betyr at hver gang du ringer på mobiltelefonen eller lytter til et sendesignal, har du pi til å takke delvis.
4Normal Sannsynlighetsfordeling
Mens pi forventes å bli funnet i operasjoner som Fourier-transformasjonen, som hovedsakelig omhandler signaler (og deretter bølger), kan det være overraskende å finne pi som spiller en viktig rolle i formelen for normal sannsynlighetsfordeling. Du er utvilsomt kommet over denne beryktede distribusjonen før - den er involvert i et bredt spekter av fenomener som vi ser utfolder regelmessig, fra terningruller til testresultater.
Når du ser pi lurer i en kompleks ekvation, anta at en sirkel er skjult et sted i det matematiske stoffet. Ved normal sannsynlighetsfordeling blir pi levert gjennom det gaussiske integralet (også kjent som Euler-Poisson-integralet), som har kvadratroten til pi. Faktisk er alt som trengs, små endringer i variabler i det gaussiske integralet for å beregne normaliseringskonstanten for normalfordelingen.
En vanlig, men ikke-intuitiv anvendelse av Gauss-integralen innebærer "hvit støy", en normalt distribuert tilfeldig variabel som brukes til å forutsi alt fra vindkast på et fly til strålevibrasjoner under storskala konstruksjon.
3Meandering Rivers
Pi har et fascinerende og uventet forhold til slingrende elver. En elvs sti beskrives for det meste av sin sinuosity-dens tendens til å blåse fra side til side når den krysser en slett. Dette kan beskrives matematisk som lengden av viklingsbanen dividert med elvenes lengde fra kilden til munnen. Det viser seg at uavhengig av elvets lengde, eller hvor mange vendinger det tar langs sin sti, har den vanlige elven en sinuosity på omtrent pi.
Albert Einstein gjorde flere observasjoner om hvorfor elver pleier å oppføre seg på denne måten. Han la merke til at vann strømmer raskere utvendig av en elvbøye, noe som fører til raskere erosjon rundt banken, noe som igjen skaper en større bøye. Disse større bøyene møtes, og forårsaker at elven danner en "snarvei" -forbindelse. Denne frem og tilbake bevegelsen ser ut til å hele tiden korrigere seg selv som elvaens sinuosity beveger seg tilbake mot pi.
2Pi og Fibonacci Sequence
Gjennom det meste av historien var det bare to metoder som ble brukt til å beregne pi, en oppfunnet av Archimedes, og den andre av den skotske matematikeren James Gregory.
Det viser seg imidlertid at pi også kan beregnes ved hjelp av Fibonacci-sekvensen. Hvert etterfølgende nummer i Fibonacci-sekvensen er summen av de to foregående tallene. Sekvensen begynner med 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 og fortsetter uendelig. Og siden arktangenten til 1 er pi / 4, betyr dette at pi kan uttrykkes i form av Fibonacci tall, ved å omarrangere ligningen til å være arctan (1) * 4 = pi.
I tillegg til å være et iboende fascinerende og vakkert antall sett, spiller Fibonacci-sekvensen en viktig rolle i en rekke naturlige forekomster gjennom hele kosmos. Det kan modellere eller beskrive et fantastisk utvalg av fenomener, i matematikk og vitenskap, kunst og natur. De matematiske ideene som Fibonacci-sekvensen fører til, for eksempel det gyldne forholdet, spiraler og kurver, har lenge vært verdsatt for sin skjønnhet, men matematikere strever fortsatt for å forklare dybden av forbindelsen.
1Quantum Mekanikk
Pi er utvilsomt en uunngåelig og kompleks stift av vår verden, men hva med universet som helhet? Pi manifesterer seg gjennom hele universet og er faktisk involvert i selve ligningene som søker å forklare kosmos natur. Faktisk bruker mange formler brukt i kvantemekanikkens rike, som styrer den mikroskopiske verden av atomer og kjerner, bruk pi.
Kanskje den mest kjente av slike likninger er Einstein-feltekvasjonene (også kjent som Einsteins ligninger)-et sett med 10 likninger i Einsteins generelle relativitetsteori som beskriver tyngdets grunnleggende samspill som et resultat av at romtid er buet av masse og energi. Graden av tyngdekraften tilstede i et system er proporsjonal med mengden energi og momentum, med proportionalitetskonstanten relatert til G, en numerisk konstant.