Topp 10 ukjente ting

Det er mange ting vi ikke kjenner til; Personlig er jeg en ekte firkant av uvitenhet. Men det er en forskjell mellom ting vi ikke vet og ting som ikke kan bli kjent. For eksempel vet ingen når Shakespeare ble født (selv om vi vet når han ble døpt). Det er imidlertid ikke umulig at vi i fremtiden kan finne ut - et langt tapt dokument kan bli funnet som nevner hans fødsel, så Shakespeares sanne fødselsdato er ikke ukjennelig, bare ukjent. Denne listen inneholder 10 ting som i prinsippet ikke kan gjenkjennes. Ikke bare er de ukjent nå, de kan aldri bli kjent.

De fleste av disse er matematiske; Jeg har forsøkt å gjøre det så teknisk som mulig - bortsett fra noe annet, er jeg ingen matematiker, så jeg har prøvd å dumme den ned nok til at jeg kan forstå det.

10

Sett og flere sett

Unknowable Thing: Hva er i et sett med sett som ikke inneholder seg selv?

Vi må gjøre litt matematikk for flere av disse elementene! Dette er den første på listen fordi, på en måte, begynner begrepet "unknowable" med dette paradokset som ble oppdaget av Bertrand Russell i 1901.

La oss starte med ideen om et sett. Et sett er en samling av objekter - for eksempel kan du ha settet med positive like tall som inneholder 2, 4, 6, 8 ... eller settet med primtal som inneholder 2, 3, 5, 7, 11 ... så langt så flink.

Kan settene inneholde andre sett? Ja, ikke noe problem - du kan ha et sett med sett som inneholder andre sett - og det settet vil selvsagt inneholde seg selv. Faktisk kan du dele opp sett i to typer - de som inneholder seg selv og de som ikke gjør det.

Så, sett et sett (S, si) av sett som ikke inneholder seg selv. Inneholder S seg selv? Hvis det gjør det, bør det ikke være i settet, men hvis det ikke gjør det, så burde det. Så S hopper kontinuerlig inn og ut av seg selv.

Dette paradokset forårsaket ganske mye forvirring blant matematikere. Tenk deg at noen beviser at et tall kan være samtidig like og merkelig, det er også så bekymringsfullt for det. Man har kommet seg rundt paradokset - i hovedsak ved å omdefinere settteori.

9

Grahams nummer

Det har blitt sagt at problemet med folks oppfatning av universet er at hjernen vår bare brukes til å håndtere små tall, korte avstander og korte perioder. Grahams tall er stort nok til at de fleste hjerner begynner å dampe; det er veldig stort; for å sette det inn i kontekst, la oss se på noen såkalte store numre:

De fleste har hørt om en googol - for de fleste formål er det et stort antall - 10 ^ 100 som er 1 etterfulgt av 100 nuller.

Det er mye større tall der ute; en googolplex er 1 etterfulgt av en googol nuller og matematikeren Stanley Skewes har definerte tall som er mye større enn en googolplex.

For å sette disse inn i konteksten er den minste av dem (googolen) fortsatt mye større enn antall partikler i universet (rundt 10 ^ 87).

Grahams nummer slår imidlertid disse "smårollene" ut av bakken - det ble brukt av Ronald Graham i hans (for meg) uforståelige arbeid på flerdimensjonale hypercubes (det er den øvre grensen til en av løsningene). Nok til å si at det er langt større enn Skewes 'tall, og faktisk er universet ikke stort nok til å lagre den trykte versjonen. Selv om hvert siffer var størrelsen på et elektron. Ikke engang i nærheten.

Den virkelig fantastiske tingen om Grahams tall er at det er mulig å beregne de siste få sifrene, og vi vet at det ender i en 7.

8

Minste integer

Unknowable Thing: Hva er det minste positive heltallet ikke definerbart i under elleve ord?

Dette er et problem i matematikkfilosofien. Bare for å gjøre ting litt klarere - et heltall er et helt tall (1, 2, 3 etc), og for mindre heltall er det enkelt å definere dem i ord:

"Firkanten av 2" = 4
"En mer enn 4" = 5

… og så videre. Nå som et tankeeksperiment - vurder hvor mange elleve ord setninger det er - tydeligvis er det mye; men det er bare et begrenset antall ord (rundt 750.000 på engelsk), så det er bare et begrenset antall elleve ordsetninger - på et tidspunkt vil du løpe ut og det ville være et heltall du ikke kunne definere. Bortsett fra, at "Det minste positive heltallet ikke defineres i under elleve ord" inneholder bare ti ord, så du kan definere det med under elleve ord.

Dette kalles Berrys paradoks, og det er faktisk en slags "svindel av hånd" med språk - vi beveger seg subtly fra navngivende tall for å beskrive dem, men det er ingen som kan komme opp med det nummeret!

7

programvare

Unknowable Thing: Vil et dataprogram noensinne stoppe?

Når jeg satt i Pure Mathematics-klasser på skolen, var det en vanlig klage at det vi lærte var "ubrukelig." Dessverre reagerte læreren bare med "du lærer dette fordi det er på pensum." Turing Halting-problemet lyder som en klasse-En ubrukelig, helt akademisk, sløsing med tid. Bortsett fra at det førte til utviklingen av digitale datamaskiner.

Alan Turing var en engelsk matematiker og et barnprodigi, spesielt i matematikk. Hans arbeid på databehandlingsmaskiner var i utgangspunktet helt teoretisk; han jobbet på ideen om å beskrive matematiske setninger helt numerisk, slik at de kunne behandles av en teoretisk databehandlingsmaskin. Han tenkte på konseptet med en generell databehandling maskin (nå kalt en Turing Machine) som et tankeeksperiment - han tenkte ikke noen som faktisk bygde en.

Han begrunnet at et dataprogram må enten løpe for alltid eller stoppe.Han viste seg at det er umulig å automatisk bestemme hva som vil skje - jeg vet at du kanskje hevder at du kunne "kjøre programmet og se hva som skjer" - men antar at det bare stopper etter 7 billioner år?

Litt mer om Turing: hans tankegang er spesielt bemerkelsesverdig fordi han gjorde det i 1936 - år før den første digitale datamaskinen ble bygget. Andre verdenskrig startet i 1939, men Turing hadde jobbet med kodebryte på Bletchley Park for et år før det; prøver å tyde den tyske Enigma-koden. Det var klart at en "manuell" tilnærming var for langsom, og Turing spesifiserte den første dekodingsmaskinen (kalt en Bombe), dette førte til Colossus - uten tvil den første programmerbare digitale datamaskinen som automatisk kunne løpe gjennom mange mulige "nøkler". var så viktig å dekryptere at mye forblir hemmelig lenge etter krigen avsluttet; noen ble bare publisert i år - 60 år etter at den ble skrevet.

6

Beregner ikke

Ukjennelig ting: Det finnes tall som ikke kan beregnes.

Dette er et annet sinn bender bevist av Alan Turing. For en start er det mer enn en "uendelig". For eksempel, hvor mange positive, hele tall er der? Hvorfor er det uendelig - de stopper aldri. Hvor mange positive, like tall er der? Det samme - dersom du dobler et positivt heltal, får du et tilsvarende like tall, så det må være det samme nummeret.

Ok, hvor mange ekte tall er der? Reelle tall inkluderer alle brøkene, irrasjonelle tall (som pi) og hele tall (positive eller negative). Vel, det er mye mer enn det er hele tall - mellom hvert hele tall er det et uendelig antall ekte tall; så antall ekte tall er en mye større uendelighet enn antall hele tall.

Med dette konseptet fast på plass; du kan derfor begrunne:

Anta at du begynner å skrive dataprogrammer for å generere ekte tall, ett for hvert reelt tall.

Du teller hvert program; den første er "1", den andre, "2" og så videre - som du teller, bruker du de positive, hele tallene.

Problemet er at selv om du er glad for å skrive et uendelig antall programmer, er uendigheten mindre enn det uendelige antallet ekte tall, så det må være mange (faktisk de fleste) ekte tall mangler - det kan ikke være regnet ut.

5

Sant eller usant?

Ukjennelig ting: I matematikk er det sanne ting som ikke kan bevises sanne - og vi vet ikke hva de er.

Denne hjerneslagssetningen ble utviklet av Kurt Gödel. Konseptet dateres tilbake til 1900 da David Gilbert foreslo 23 "problemer" i matematikk som han ønsker å se løst i det kommende århundre. Ett problem var å bevise at matematikken var konsistent - noe som ville være veldig hyggelig å vite. Men i 1901 blåste Gödel det ut av vannet med sin ufullstendighetsteorem - jeg vil ikke gå gjennom stolen i detalj her, delvis fordi jeg ikke forstår den fulle detaljen, men hovedsakelig fordi det tok meg tre separate forelesninger før Jeg følte at jeg kom dit, så hvis du er interessert: Wikipedia er din venn!

I sammendraget viser teorien at du ikke kan bevise matematikk konsekvent ved hjelp av bare matematikk (du må bruke et "meta-språk"). Videre viste han også at det er sanne ting i matematikk som ikke kan bevises sant.

Da jeg lærte satsen, ble det antydet at den berømte Fermats siste teorem kan være en så "sant ting som ikke kan bevises sant", men det var bortskjemt som et eksempel da Andrew Wiles viste seg sant i 1995. Men her er et par ting som kan være sanne, men ikke bevisbare:

"Det er ikke noe merkelig perfekt nummer."

Et perfekt nummer er et positivt hele tal som divisors legger til seg selv. For eksempel er 6 et perfekt tall - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 er det neste perfekte nummeret. Perfekte tall forekommer sjelden, og hittil er det bare funnet 41 perfekte tall. Ingen vet hvor mange det er - men det er mellom 41 og uendelig!

Så langt har alle de perfekte tallene vært like, men igjen vet ingen om det er en merkelig en som ennå ikke finnes, men hvis det er en, er det et veldig stort tall; større enn 10 ^ 1500 - (1 med 1500 nuller etter det).

"Alle like tall er summen av to primater."

Et primallummer er bare delbart av seg selv eller 1, og det er et nysgjerrig faktum at hittil tallet som er testet, er summen av to av dem - for eksempel: 8 = 5 + 3 eller 82 = 51 + 31. Igjen , det er kjent for å være sant for mange tall (opptil rundt 10 ^ 17), og det er også kjent at jo høyere et tall er, desto mer sannsynlig er det å være en premiss, så det synes sannsynligvis jo høyere du får, men hvem er å si det er ikke et veldig stort jevnt tall der ute der det ikke er sant?

4

Hva er sannhet, mann?

Fortsatt i bevissthetsverdenen kommer vi til Tarksi's undefinability-setning, men for å tantalisere, er det noe på bakgrunn av Tarksi.

Han var sønn av jødiske foreldre født i førkrigspolen, og han var veldig heldig. Han ble født Alfred Teitelbaum i 1901. Det var utbredt antisemittisme i førkrigspolen, og i 1923 endret Alfred og hans bror etternavnet deres til "Tarski" - et navn de oppsto fordi det "hørtes mer polsk." De endret også sin religion fra jødisk til romersk-katolsk - selv om Alfred faktisk var en ateist.

På slutten av 1930-tallet søkte Tarski på flere professorater i Polen, men ble avslått - heldigvis, som det viste seg. I 1939 ble han invitert til å henvende seg til en konferanse i Amerika som han antagelig ikke ville ha deltatt på hvis han nylig hadde tatt opp professorskap.Tarski fanget det siste skipet for å forlate Polen før den tyske invasjonen den følgende måneden. Han hadde ikke tenkt at han "rømte" fra Polen - han forlot barna sine og trodde han skulle komme tilbake snart. Hans barn overlevde krigen, og de ble gjenforent i 1946, selv om de fleste av hans utvidede familie ble drept av de tyske okkupasjonene.

Tilbake til ordningen: Tarski viste at aritmetisk sannhet ikke kan defineres i aritmetikk. Han utvidet dette også til ethvert formelt system; "Sannhet" for det systemet kan ikke defineres i systemet.

Det er mulig å definere sannhet for ett system i et sterkere system; men selvfølgelig kan du ikke definere sannheten i det sterkere systemet, du må gå videre til et enda sterkere system - og så videre, på ubestemt tid søker etter den uoppnåelige sannheten.

3

Partikkeldetaljer

Ukjennelig ting: Hvor er den partikkelen, og hvor fort går det?

Vi forlater hjernens sårende verden av matematikk, men dessverre går vi inn i den enda mer cortex-boggling verden av kvantefysikk. Usikkerhetsprinsippet oppsto da vi studerte subatomiske partikler og forandret hvordan vi ser universet. Da jeg var på skolen, ble vi lært at et atom var som et mini-solsystem med en solkjerne i midten med elektroner, og elektronene var som små marmor.

Det er så galt - og en av de viktigste funnene på veien til å vise det var Heisenbergs usikkerhetsprinsipp. Werner Heisenberg var en tysk teoretisk fysiker som jobbet tett med den danske fysikeren Niels Bohr på 1920-tallet. Heisenbergs resonnement går slik:

Hvordan finner jeg ut hvor en partikkel er? Jeg må se på det, og for å se på det må jeg belyse det. For å belyse det, må jeg brenne fotoner på den, når en foton treffer partikkelen, vil partikkelen bli flyttet av fotonene - så ved å prøve å måle posisjonen endrer jeg posisjonen.

Teknisk sett sier prinsippet at du ikke kan kjenne posisjon og momentum i en partikkel samtidig. Dette er likt, men ikke det samme som "observatør" -effekten i eksperimenter hvor det er noen eksperimenter som endrer seg, avhengig av hvordan de blir observert. Usikkerhetsprinsippet er på mye fastere matematiske fotfelter, og som jeg nevnte, forandret måten universet er sett på (eller hvordan universet til de aller små er sett). Elektroner anses nå som sannsynlighetsfunksjoner i stedet for partikler; Vi kan beregne hvor de er sannsynlig, men ikke hvor de er - de kunne faktisk være hvor som helst.

Usikkerhetsprinsippet var ganske kontroversielt da det ble annonsert; Einstein sa at "Gud spiller ikke terning med universet", og det var rundt denne tiden at splittelsen i fysikk som skilt kvantemekanikk - som studerer den lille og makrofysikken som studerer større objekter og krefter, startet. Den splittelsen er fortsatt å bli løst.

2

Chaitin er konstant

Chaitins konstant er et eksempel på hva som virker normalt og fornuftig for en matematiker, men gal lydende til resten av oss. Chaitins konstant er sannsynligheten for at et tilfeldig dataprogram vil stoppe. Det som er gal om det (egentlig et av få ting), er at det er en annen konstant for hvert program, så det er et uendelig antall verdier for denne "konstante" - som vanligvis vises som en gresk omega (Ω) . Den andre litt galne tingen om det er at det ikke er mulig å bestemme hva Ω er - det er et ukomplisert nummer, som er en skam - hvis vi kunne beregne Ω, så har det blitt vist at de fleste uprøvde problemene i matematikk faktisk kunne bevises ( eller disproved).

1

Ukjent Unknowables

Så langt har vi beskrevet ting vi vet å være ukjennelige (hvis det er fornuftig). Det endelige elementet beskriver imidlertid ting som kan være sanne, men det kan ikke være kjent. Du tror kanskje jeg vil slite for å finne et eksempel, men vurder følgende:

Vi lever i et utvidende univers; når vi ser på andre galakser flytter de seg bort fra oss og akselererer. Nå, i en fjern fremtid (rundt 2 billioner år fra nå) vil alle andre galakser være så langt unna at de ikke vil bli observerbare (teknisk, de beveger seg så fort at lyset blir strukket inn i gammastråler med bølgelengder lenger enn universet er bredt). Så hvis du var en astronom i 2 billioner år, ville det ikke være noen måte å vite at det var milliarder av andre galakser i universet - og hvis noen foreslo det, ville du le avsky og si "vis meg bevisene; du har ingenting."

Så, med dette i bakhodet, kom tilbake til i dag - det kan være sanne ting om universet som vi aldri kan vite. Gulp!

+

Kjedelig…

Ukjennelig ting: Er det noen uinteressante mennesker?

Det er ganske enkelt å argumentere for at det ikke er noen uinteressante mennesker:

Vurder å lage en liste over uinteressante mennesker; En av disse menneskene vil være den yngste - og å være den yngste uinteressante personen er seg selv interessant - så de burde bli fjernet fra listen. Nå er det en ny yngste uinteressant person, og de kan også bli fjernet fra listen, og så videre - til listen må være tom. Så, hvis du møter noen du synes er uinteressant, må du ha det feil.