10 kuleste matematikkresultater

Mange blir slått av de uklare symbolene og strenge matteregler, og gir opp et problem så snart de ser både tall og bokstaver involvert. Men mens matte kan være tett og vanskelig til tider, kan resultatene det viser seg noen ganger være vakkert, oppsiktsvekkende eller bare uventet. Resultater som:

10

4-fargestudien

4-fargestudien ble først oppdaget i 1852 av en mann som heter Francis Guthrie, som på den tiden prøvde å fargelegge et kart over alle fylkene i England (dette var før internett ble oppfunnet, det var ikke mye å gjøre). Han oppdaget noe interessant - han behøvde bare maksimalt fire farger for å sikre at ingen fylker som delte en kant, ble fargede det samme. Guthrie lurte på om dette var sant for et kart, og spørsmålet ble en matematisk nysgjerrighet som gikk uløst i årevis.

I 1976 (over et århundre senere) ble dette problemet endelig løst av Kenneth Appel og Wolfgang Haken. Beviset de fant var ganske komplisert og påberopes delvis på en datamaskin, men det står at i et hvilket som helst politisk kart (sier av stater) bare fire farger er nødvendig for å farge hver enkelt stat slik at ingen stater av samme farge noen gang er inne ta kontakt med.

9

Brouwer's Fixed Point Theorem

Denne teorem kommer fra en gren av matematikk kjent som Topologi, og ble oppdaget av Luitzen Brouwer. Mens det tekniske uttrykket er ganske abstrakt, har det mange fascinerende virkelige implikasjoner. La oss si at vi har et bilde (for eksempel Mona Lisa), og vi tar en kopi av det. Vi kan da gjøre hva vi vil ha denne kopien - gjør den større, gjør den mindre, roter den, smuldre den opp, noe. Brouwer's Fixed Point Theorem sier at hvis vi legger denne kopien overhodet på vårt opprinnelige bilde, må det være minst ett punkt på kopien som nøyaktig overhopper det samme punktet på originalen. Det kan være en del av Monas øye, øre eller mulig smil, men det må eksistere.

Dette fungerer også i tre dimensjoner: forestill oss at vi har et glass vann, og vi tar en skje og rører den opp så mye som vi vil. Ved Brouwers teoremåte vil det være minst ett vannmolekyl som er på nøyaktig samme sted som det var før vi begynte å røre.

8

Russells paradoks

Fotokreditt: Lonpicman

Ved begynnelsen av 1900-tallet ble mange innblandet av en ny gren av matematikk kalt Set Theory (som vi vil dekke litt senere i denne listen). I utgangspunktet er et sett en samling av objekter. Tanken på tiden var at alt kunne bli omgjort til et sett: Settet av alle typer frukt og settet av alle amerikanske presidenter var begge helt gyldige. I tillegg, og dette er viktig, kan settene inneholde andre sett (som settet av alle sett i foregående setning). I 1901 gjorde berømt matematiker Bertrand Russell ganske skvett da han innså at denne tankegangen hadde en dødelig feil: det er ikke noe som kan gjøres til et sett.

Russell bestemte seg for å få meta om ting og beskrev et sett som inneholdt alle de settene som ikke inneholder seg selv. Settet av all frukt inneholder ikke seg selv (juryen er fortsatt ute om den inneholder tomater), så det kan bli inkludert i Russells sett sammen med mange andre. Men hva med Russell setter seg selv? Den inneholder ikke seg selv, så det bør også inkluderes. Men vent ... nå inneholder det seg selv, så naturlig må vi ta det ut. Men vi må nå sette den tilbake ... og så videre. Dette logiske paradokset forårsaket en fullstendig reformering av Set Theory, en av de viktigste filialene i matematikk i dag.

7

Fermats siste teoremåte

Husk Pythagoras teorem fra skolen? Det har å gjøre med rettvinklede trekanter, og sier at summen av rutene på de to korteste sidene er lik kvadratet på den lengste siden (x kvadrat + y squared = z squared). Pierre de Fermats mest kjente teorem er at denne samme ligningen ikke er sant hvis du erstatter kvadratet med et tall som er større enn 2 (du kan ikke si x cubed + y cubed = z cubed, for eksempel), så lenge x, y, og z er positive hele tall.

Som Fermat selv skrev: "Jeg har oppdaget et virkelig fantastisk bevis på dette, som denne marginen er for smal til å inneholde." Det er virkelig synd, fordi mens Fermat utgjorde dette problemet i 1637, gikk det ubevisst for en stund. Og med en gang mener jeg det var bevist i 1995 (358 år senere) av en mann som heter Andrew Wiles.

6

Doomsday Argumentet

Det er en god antagelse at de fleste leserne i denne artikkelen er mennesker. Å være mennesker, vil dette innlegget være spesielt nyskapende: matte kan brukes til å bestemme når vår art vil dø ut. Bruk sannsynlighet, uansett.

Argumentet (som har eksistert i ca 30 år og har blitt oppdaget og gjenoppdaget noen ganger) sier i utgangspunktet at menneskehetens tid er nesten oppe. En versjon av argumentet (tilskrives astrophysicist J. Richard Gott) er overraskende enkelt: Hvis man vurderer den totale levetiden til den menneskelige arten som en tidslinje fra fødsel til død, så kan vi bestemme hvor i den tidslinjen vi er nå.

Siden akkurat nå er det bare et tilfeldig punkt i vår eksistens som en art, så kan vi si med 95% nøyaktighet at vi er i midten av 95% av tidslinjen, et sted. Hvis vi sier det akkurat nå, er vi akkurat 2,5% i menneskets eksistens, vi får den lengste levetiden. Hvis vi sier at vi er 97,5% i menneskelig eksistens, gir det oss den korteste levetiden. Dette gjør at vi kan få et utvalg av den forventede levetiden til menneskeheten. Ifølge Gott er det 95% sjanse for at mennesker vil dø en gang mellom 5100 år og 7,8 millioner år fra nå. Så der går du, menneskeheten - få bedre på den bøtte listen.

5

Ikke-euklidisk geometri

En annen bit av matte du kan huske fra skolen er geometri, som er den delen av matte hvor doodling i notatene dine var poenget. Den geometri de fleste av oss er kjent med, kalles euklidisk geometri, og den er basert på fem ganske enkle selvopplagte sannheter eller aksiomer. Det er den vanlige geometrien av linjer og poeng som vi kan tegne på tavle, og i lang tid ble det ansett som den eneste måten geometri kunne fungere.

Problemet er imidlertid at de åpenbare sannhetene som Euclid skisserte over 2000 år siden, ikke var så selvsagt for alle. Det var en aksiom (kjent som det parallelle postulatet) som aldri satt riktig med matematikere, og i århundrer forsøkte mange mennesker å forene det med de andre aksiomene. I begynnelsen av 1700-tallet ble det drevet en dristig ny tilnærming: det femte aksiomet ble ganske enkelt forandret til noe annet. I stedet for å ødelegge hele systemets geometri ble det oppdaget en ny som nå kalles hyperbolsk geometri (eller bolyai-lobachevsk). Dette førte til et komplett paradigmeskifte i det vitenskapelige samfunn, og åpnet portene for mange forskjellige typer ikke-euklidisk geometri. En av de mer fremtredende typene kalles Riemannian geometri, som brukes til å beskrive ingen andre enn Einsteins relativitetsteori (vårt univers, interessant nok, overholder ikke euklidisk geometri!).

4

Eulers formel

Euler Formel er en av de mest effektive resultatene på denne listen, og det skyldes en av de mest fruktbare matematikerne som noen gang levde, Leonhard Euler. Han publiserte over 800 papirer gjennom hele sitt liv - mange av dem mens de var blinde.

Hans resultat ser ganske enkelt ved første øyekast: e ^ (i * pi) + 1 = 0. For de som ikke vet, er både e og pi matematiske konstanter som kommer opp på alle mulige uventede steder, og jeg står for den imaginære enheten, et tall som er lik kvadratroten på -1. Den bemerkelsesverdige tingen om Eulers formel er hvordan den klarer å kombinere fem av de viktigste tallene i all matte (e, i, pi, 0 og 1) inn i en så elegant ligning. Det har blitt kalt av fysikeren Richard Feynman "den mest bemerkelsesverdige formelen i matematikk", og dens betydning ligger i sin evne til å forene flere aspekter av matematikk.

3

Turing's Universal Machine

Vi lever i en verden som er dominert av datamaskiner. Du leser denne listen på en datamaskin akkurat nå! Det sier seg selv at datamaskiner er en av de viktigste oppfinnelsene i det 20. århundre, men det kan kanskje overraske deg å vite at datamaskiner i kjernen deres begynner i teoretisk matematikk.

Matematiker (og også WW2-kodebryter) Alan Turing utviklet en teoretisk gjenstand kalt en Turing Machine. En Turing Machine er som en veldig grunnleggende datamaskin: Den bruker en uendelig streng av tape og 3 symboler (si 0, 1 og tom), og opererer da med et sett med instruksjoner. Instruksjoner kan være å endre 0 til 1 og flytte et mellomrom til venstre, eller for å fylle ut et tomt og flytte et mellomrom til høyre (for eksempel). På denne måten kan en Turing Machine brukes til å utføre en veldefinert funksjon.

Turing fortsatte da å beskrive en Universal Turning Machine, som er en Turing Machine som kan etterligne noen Turing Machine med noen innspill. Dette er i hovedsak konseptet med en lagret program-datamaskin. Ved å bruke noe annet enn matematikk og logikk skapte Turing feltet for databehandling vitenskap år før teknologien var enda mulig å konstruere en ekte datamaskin.

2

Ulike nivåer av uendelighet

Infinity er allerede et ganske vanskelig konsept å forstå. Mennesker ble ikke laget for å forstå det uendelige, og derfor har Infinity alltid blitt behandlet med forsiktighet av matematikere. Det var ikke før sistnevnte halvdel av 1800-tallet at Georg Cantor utviklet grenen av matematikk kjent som Set Theory (husk Russells paradoks?), En teori som tillot ham å overveie den sanne natur av Infinity. Og det han fant var virkelig overveldende.

Som det viser seg, når vi forestiller oss uendelig, er det alltid en annen type uendelighet som er større enn det. Det laveste nivået av uendelig er mengden av hele tallene (1,2,3 ...), og det er en tellbar uendelighet. Med noen svært elegante begrunnelse bestemte Cantor at det er et annet uendighetsnivå etter det, uendeligen av alle ekte tall (1, 1.001, 4.1516 ... i utgangspunktet et hvilket som helst tall du kan tenke på). Den typen uendelig er ukjennelig, noe som betyr at selv om du hadde hele tiden i universet, kunne du aldri liste av alle de virkelige tallene i orden uten å savne noen. Men vent - som det viser seg, er det enda flere nivåer av uendelig uendelig etter det. Hvor mange? Et uendelig tall, selvfølgelig.

1

Gödel er ufullstendighetsteorier

I 1931 viste østerriksk matematiker Kurt Gödel to teoremer som rystet matteverdenen til sin kjerne, fordi de sammen viste noe ganske nedslående: matte er ikke og vil aldri bli fullført.

Uten å komme inn i de tekniske detaljene viste Gödel at i et formelt system (for eksempel et system av de naturlige tallene) er det visse sanne påstander om systemet som ikke kan påvises av selve systemet. Fundamentalt viste han at det er umulig for et aksiomatisk system å være helt selvstendig, som gikk imot alle tidligere matematiske antagelser. Det vil aldri være et lukket system som inneholder alle matematikk-bare systemer som blir større og større da vi forsøks å gjøre dem komplett.