10 morsomme eksempler på rekreasjonsnummer teori

Matematikere liker å klassifisere og organisere tall på alle måter. Naturnummer brukes til telling og bestilling; Nominelle tall brukes til å navngi (som et førerkortnummer); heltall er tall som kan uttrykkes uten en brøkdel eller desimal; primtal kan kun deles med 1 og av seg selv; og så videre. Men det er ingen grense for hvordan vi kan forstå og bruke tall; Derfor er det en gren av ren matematikk, hovedsakelig basert på studiet av heltall, kalt "tallteori". Selv om vi nå forstår at tallteori har ubegrensede bruksområder, bruksområder og formål, kan det virke som om det er lumske til poenget med meningsløshet - spesielt delmengden kjent som "rekreasjonsnummerteori". Talteoretikeren Leonard Dickson sa en gang til tross for at "Takk Gud at tallteorien er uønsket av enhver søknad."

Men det betyr ikke at det ikke gir et mål for nerdy moro for de så tilbøyelige. Les videre for å lære hva som gjør et nummer "interessant", "merkelig", "lykkelig", "narcissistisk", "perfekt" og mer!

10

Åndelige tall

Ah, minnesbare tall. De elsker hverandre så mye. Hvor mye? Vel, la oss ta et klassisk par-284 og 220-og se hvor vennlige de er. La oss ta alle de riktige divisors på 220 (det vil si alle dens divisors som ikke gir noen resten, inkludert nummer 1, og unntatt selve nummeret) og alle dem opp:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Nå, la oss ta 284 og gjøre det samme:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: et par vennelige tall. Andre par inkluderer (1184, 1210), (2620, 2924) og (5020, 5564). Denne typen nummerpar ble oppdaget og studert av pythagoreerne, og har vært gjenstand for mye forskning gjennom århundrene - Fermat, Descartes, Iransk Muhammad Baqir Yazdi og irakisk Th? Bit ibn Qurra er blant de mange matematikere som har dratt inn i verden av minnelige tall. Emner for videre studier inkluderer forsøk på å oppdage om det er en uendelig mengde par, å skille mønstre, og for bedre å forstå hvorfor og hvordan dette skjer.

Fordi matematikere aldri ville være fornøyd med bare minnelige tall, er "forlovede tall" par hvor summen av de riktige divisorene til hvert tall er lik det andre tallet +1.

9

Emirp

"Emirp" er ordet "prime" stavet bakover, og det refererer til et primtall som blir et nytt prime nummer når du setter om sifrene. Emirper inkluderer ikke palindromiske primater (som 151 eller 787) eller 1-siffer primere som 7. De første få emirpene er 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 og 157 - reverser dem og du har et nytt hovednummer på hendene dine.

For det meste, å si "emirp" om og om igjen er litt av en blast. Gi det en virvel!

8

Interessante tall

Det er et gammelt paradoks i matematikkens verden som er kjent som det "interessante tallparadoxet." Enkelt sagt, hvis du fortsetter å telle naturlige tall, vil du til slutt møte en som ikke er interessant; hvor det blir paradoksalt er det i kraft av å være det minste uinteressante nummeret, det nummeret har nå blitt interessant.

Selvfølgelig er dette alt subjektivt, da det er avhengig av en vag definisjon av ordet "interessant." Svært generelt sett betraktes et tall som interessant hvis det har noen form for matematisk kvalitet som setter den fra hverandre; 19 er interessant fordi det er førsteklasses, 999 er interessant fordi det er et palindrom (og den britiske versjonen av 911); 24 er interessant fordi det blant annet er det største antall delbare med alle tall mindre enn kvadratroten. matematikere

7

Kraftige tall

Achilles var en kraftig trojansk krigshelt som var ekstremt mektig, men hadde en feil - sin achilleshæl. Som han, er Achilles tallene kraftige, men ikke perfekte.

Så, la oss begynne med et kraftig tall. Et tall betraktes som kraftig dersom alle dens primære faktorer forblir faktorer når de er kvadret. 25 er et kraftig tall fordi den ene hovedfaktoren, 5, forblir en faktor når den er blitt kvadret (25, som går inn i 25 en gang). La oss nå flytte på perfekte krefter, tall som kan uttrykkes som et heltall av et annet heltall; 8 er en perfekt kraft, da den er 2 kubikk.

Så nå, tilbake til den opprinnelige premissen - Achilles tallene er kraftige, men de er ikke perfekte krefter. 72 er det første akilletallet, da det er kraftig, men det er ikke et perfekt premiere. Andre inkluderer 108, 200, 288, 392, 432, 500 og 648.

6

Rare numre

Hva er rare tall? For å forstå dem må vi først begynne med "rikelige" tall. Rikke tall, også kjent som "overdreven", er større enn summen av deres riktige divisorer. 12 er for eksempel det første (minste) rikelige tallet, summen av dets riktige divisorer, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, er 16. 12 har derfor en "overflod" på 4, hvor mye som summen av divisors overstiger tallet. Det er mange like mange tall, men vi kommer ikke til en merkelig en til nummer 945.

Noen rike tall er "semiperfect" eller "pseudoperfect", noe som betyr at de er lik alle eller bare noen av deres riktige divisorer. 12 er et ufullstendig rikelig tall fordi noen av dens divisorer kan legges sammen for å danne 12.

Til slutt kommer vi til rare numre. Et nummer er rart hvis det er rikelig, men IKKE semiperfekt; med andre ord, summen av divisorene er større enn tallet selv, men ingen delmengde av divisorbeløp er lik tallet. Rare tall er uvanlig - de første er 70, 836, 4,030 og 5,830.

5

Untouchable tall

Mens rare numre ikke er lik summen av noen av deres divisorer, tar det uberørte tall det et skritt videre. For et nummer å være uberørt, må det ikke være lik summen av de riktige delene av noe nummer. Noen få untouchables er 2, 5, 52 og 88; Faktisk er 5 antatt å være det eneste merkelige untouchable nummeret som eksisterer (selv om det ikke er formelt bevist). Det er et uendelig antall untouchable tall, noe som betyr at det ikke er noe slikt som den største.

4

Perfekte tall

Så etter å ha diskutert det rare og det uberørte, er det på tide å sjekke inn med bestefaren av alle ordinære divisorrelaterte tall: perfekte tall. Et perfekt tall er en som er nøyaktig lik summen av sine riktige divisorer (igjen, unntatt seg selv). Det første perfekte tallet er 6, som dets divisors (1, 2, 3) opptil 6. Seks blir etterfulgt av 28, 496 og 8128. Tidlige greske matematikere visste bare om disse første 4 perfekte tallene; Nichomatus oppdaget 8,128 i år A.D. 100. Tre ble oppdaget, den første ca 1456 (33.550.336) av en ukjent matematiker, og i 1588 (8,589,869,056 og 137,438,691,328) av italiensk matematiker Pietro Cataldi i 1588.

Alle kjente perfekte tall er jevn; Det er ennå ikke kjent om det finnes et oddetall eller det er mulig. Den engelske matematikeren James Joseph Sylvester skrev "... en langvarig meditasjon om emnet har fornøyd meg at eksistensen av et slikt [oddetallt perfekt nummer] - unnslipper, for eksempel, fra den komplekse nettsiden av forhold som rammer den på alle sider - ville være lite kort av et mirakel. "

3

Glade tall

Noen tall er rart; andre er glade. Hvis du vil finne ut om et gitt nummer er lykkelig, må du utføre følgende sett med operasjoner. La oss ta nummeret 44:

Først, kvadrat hvert siffer, og legg dem til sammen:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Da skal vi gjøre det igjen med vårt nye nummer:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

Og igjen:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Og endelig:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! Det er et godt nummer. Når som helst du tar et nummer, utfør denne "prosedyren", og til slutt kommer til nummer 1, har du deg selv et godt nummer. Hvis nummeret ditt aldri når 1, så er det dessverre ulykkelig. Interessant, lykkelige tall er svært vanlige; det er 11 av dem mellom 1 og 50, for eksempel.

Som et siste notat er det største lykkelige nummeret med ingen gjentatte siffer 986.543.210. Det er faktisk et lykkelig tall.

2

Narcissistiske tall

Narcissistiske tall, også kjent som Armstrong-tall eller "Pluperfect Digital Invariants", er tall som lytter tett - er lik summen av hver av sine siffer når disse tallene er hevet til kraften av AMOUNT av sifre i nummeret.

Ok. Hva? La oss ta et eksempel på de fire eksisterende narcissistiske terningene:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

I disse tilfellene er hvert siffer kubet fordi det er tre siffer i nummeret. Deretter blir de kubede tallene lagt sammen for å produsere en sum som er lik originalnummeret. Det finnes ikke 1-sifret narsissistiske tall, heller ikke 12 eller 13-sifrede de to 39-sifferene er:

115132219018763992565095597973971522400 og 115132219018763992565095597973971522401.

Den engelske matematikeren GH Hardy anerkjente slike frivilligheter ved å forkynne i sin bok "Matematikerens unnskyldning" at "Disse er merkelige fakta, veldig egnet for puslespillerkolonner og sannsynligvis å underholde amatører, men det er ingenting i dem som appellerer til matematikeren. ”

1

Gjentar og repunits

En repdigit er et naturlig tall med ett gjentatt siffer; navnet kommer faktisk fra uttrykket "gjentatt siffer." Den mest berømte redit er det såkalte "Beast Number" 666, et vanlig symbol på antikristen eller Satan. En repunit er da en repdigit som bare bruker nummer 1; repunits dukker opp ofte i binær kode og er relatert til det mest berømte av primene, Mersenne Primes. Det er blitt antatt at det er et uendelig antall repunit primes, så hvis du vil prøve å bevise det, vennligst gjør det når du er på ferie.